Phép chiếu vuông góc là gì? Khái niệm & ứng dụng giải bài tập

Phép chiếu vuông góc là một nội dung quan trọng được đề cập trong chương trình môn Toán lớp 11. Vậy, phép chiếu vuông góc là gì? Phép chiếu vuông góc có những đặc điểm nào? Có thể vận dụng phép chiếu vuông góc vào việc giải quyết các bài tập ra sao? Để có thể trả lời cho những câu hỏi vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Phép chiếu vuông góc là gì?

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (Q) là phép chiếu song song theo phương a vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ví dụ: Cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). A là một điểm bất kì không nằm trên đường thẳng a và mặt phẳng (Q). Qua A kẻ đường thẳng song song với a, đường thẳng này cắt mặt phẳng (Q) tại điểm A'. Lúc này ta nói, A' là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Q) theo phương a thông qua phép chiếu vuông góc.

2. Đặc điểm của phép chiếu vuông góc

+ Phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song.

+ Phép chiếu vuông góc được sử dụng để vẽ các hình chiếu vuông góc

+ Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (Q) còn được gọi là phép chiếu lên mặt phẳng (Q).

+ A' là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Q) còn có thể gọi A' là hình chiếu của A trên mặt phẳng (Q).

+ Phép chiếu vuông góc có các tính chất sau:

• Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng là một đường thẳng.
• Hình chiếu vuông góc của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
• Phép chiếu vuông góc không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

3. Ứng dụng của phép chiếu vuông góc

3.1. Ứng dụng của phép chiếu vuông góc trong bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc

+ Hình chiếu của phép chiếu vuông góc được sử dụng trong các bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ Nội dung:

• Cho đường thẳng m không vuông góc với mặt phẳng (Q).
• Cho đường thẳng n nằm trong mặt phẳng (Q).
• m' là hình chiếu vuông góc của m trên mặt phẳng (Q).
• Để chứng minh m và n là hai đường thẳng vuông góc ta cần chứng minh m' và n là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.MNPQ có O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng NQ và SP là hai đường thẳng vuông góc

Giải

+ Vì S.MNPQ là hình chóp đều nên SO vuông góc với mặt phẳng đáy là (MNPQ) và đáy MNPQ là hình vuông.

+ Ta có:

P thuộc mặt phẳng (MNPQ) nên hình chiếu vuông góc của P trên mặt phẳng (MNPQ) là P.

SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) nên O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (MNPQ).

Suy ra hình chiếu vuông góc của SP trên mặt phẳng (MNPQ) là OP.

+ Lại có: MP NQ (tính chất hai đường chéo trong hình vuông)

Suy ra: OP NQ

Vậy, SP NQ (đpcm)

3.2. Ứng dụng của phép chiếu vuông góc trong bài toán tìm góc giữa hai đường thẳng

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.MNPQ có O là giao điểm của MP và NQ. Tìm góc giữa SP và hình chiếu vuông góc của SP trên mặt phẳng (MNPQ) biết chiều cao của hình chóp đều là 3a (cm) và độ dài một cạnh đáy của hình chóp đều là a (cm)

Giải

+ OP là hình chiếu vuông góc của SP trên mặt phẳng (MNP).

Do đó, góc giữa SP và hình chiếu vuông góc của SP trên mặt phẳng (MNPQ) là góc tạo bởi SP và OP hay còn gọi là .

+ Đáy là hình vuông cạnh a (cm) nên MP = a (cm) suy ra OP = (cm)

+ Xét trong tam giác SOP vuông tại O có:

tan =

Suy ra = 77o.

4. Bài tập áp dụng về phép chiếu vuông góc toán 11

4.1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác CDE.C'D'E', K là một điểm trên cạnh DD' sao cho DK = .DD'. Thông qua phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (C'D'E'), ta thu được được hình chiếu của đoạn KE là đoạn nào?

+ Ta có:

D' là hình chiếu vuông góc của K trên mặt phẳng (C'D'E').

E' là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng (C'D'E').

+ Do đó, D'E' là hình chiếu vuông góc của KE trên mặt phẳng (C'D'E').

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng CDE.C'D'E' có đáy là tam giác đều cạnh 2a (cm) và chiều cao 4a (cm), K là một điểm trên cạnh DD' sao cho DK = .DD'. Tính góc giữa đoạn thẳng KE và hình chiếu vuông góc của KE trên mặt phẳng (CDE).

+ Ta có:

D là hình chiếu vuông góc của K trên mặt phẳng (CDE).

E nằm trên mặt phẳng (CDE) nên hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng (CDE) là E.

Vậy, hình chiếu vuông góc của KE trên mặt phẳng (CDE) là DE.

+ Góc giữa đoạn thẳng KE và hình chiếu vuông góc của KE trên mặt phẳng (CDE) chính là góc giữa KE và DE hay còn gọi là .

+ Ta có: DK = DD' : 2 = 4a : 2 = 2a (cm)

+ Xét tam giác DEK vuông tại D có:

tan = = 1.

Suy ra: = 45o.

Vậy, góc giữa đoạn thẳng KE và hình chiếu vuông góc của KE trên mặt phẳng (CDE) là 45o.

4.2. Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 3: Cho hình chóp đều S.MNPQ có O là giao điểm của MP và NQ. Hãy cho biết hình chiếu vuông góc của SM trên mặt phẳng (MNPQ) là:

1. ON
2. OQ
3. OM
4. OP

+ M là một điểm nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (MNPQ) là M.

+ SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) (tính chất trong hình chóp đều) nên O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (MNPQ).

Vậy, OM là hình chiếu vuông góc của SM trên mặt phẳng (MNPQ).

Chọn câu C

Bài 4: Cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q). Từ một điểm N bất kì không nằm trên đường thẳng d và mặt phẳng (Q), ta xác định được bao nhiêu hình chiếu vuông góc N' của N trên mặt phẳng (Q)?

1. Chưa thể kết luận
2. Có vô số
3. Có một và chỉ một
4. Cả A, B, C đều sai

Có duy nhất một đường thẳng đi qua N và song song với d, đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng (Q) và cắt mặt phẳng (Q) tại duy nhất một điểm N'.

Do đó, ta xác định được một và chỉ một hình chiếu vuông góc N' của N trên mặt phẳng (Q).

Chọn câu C

Bài 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Để vẽ hình chiếu vuông góc, ta sử dụng phép chiếu vuông góc.
2. Đường thẳng có hình chiếu vuông góc là đường thẳng thông qua phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng.
3. Phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song.
4. Cả A, B, C đều đúng.

Chọn câu D

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm được những nội dung kiến thức liên quan đến phép chiếu vuông góc. Đồng thời, vận dụng xử lí những bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang